概率论与数理统计习题答案(第一章) - 下载本文

概率论与数理统计习题及答案

习题 一

1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. (1) 掷一颗骰子,出现奇数点. (2) 掷二颗骰子,

 A=“出现点数之和为奇数,且恰好其中有一个1点.”  B=“出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点.” (3)将一枚硬币抛两次,  A=“第一次出现正面.”

B=“至少有一次出现正面.”

C=“两次出现同一面.”

(1)???1,2,3,4,5,6?,A??1,3,5?;【解】

(2)???(i,j)|i,j?1,2,?,6?,A??(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(4,1),(6,1)?,B??(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)?;(3)???(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)?,A??(正,正),(正,反)?,B??(正,正),(正,反),(反,正)?,C??(正,正),(反,反)?,

2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件: (1) A发生,B,C都不发生; (2) A与B发生,C不发生; (3) A,B,C都发生;

(4) A,B,C至少有一个发生; (5) A,B,C都不发生; (6) A,B,C不都发生;

(7) A,B,C至多有2个发生; (8) A,B,C至少有2个发生. 【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABC

(4) A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC

1

(5) ABC=A?B?C (6) ABC

(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC

3.指出下列等式命题是否成立,并说明理由: (1) A∪B=(AB)∪B; (2) AB=A∪B; (3) A?B∩C=ABC; (4) (AB)( AB)= ?; (5) 若A?B,则A=AB;

(6) 若AB=?,且C?A,则BC=?; (7) 若A?B,则B?A;

(8) 若B?A,则A∪B=A.

【解】(1)不成立.特例:若Α∩B=φ,则ΑB∪B=B.

所以,事件Α发生,事件B必不发生,即Α∪B发生,ΑB∪B不发生. 故不成立.

(2)不成立.若事件Α发生,则A不发生,Α∪B发生, 所以AB不发生,从而不成立. (3)不成立.A?B,AB画文氏图如下:

所以,若Α-B发生,则AB发生, A?B不发生, 故不成立.

(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.

(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生. 若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生. 故成立.

(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生, 故BC=φ.

(7)不成立.画文氏图,可知B?A.

2

(8)成立.若事件Α发生,由A?(A?B),则事件Α∪B发生. 若事件Α∪B发生,则事件Α,事件B发生. 若事件Α发生,则成立.

若事件B发生,由B?A,则事件Α发生.

4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A?B)=0.3,求P(AB). 【解】 P(AB)=1?P(AB)=1?[P(A)?P(A?B)] =1?[0.7?0.3]=0.6

5.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求: (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值? (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值? 【解】(1) 当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6.

(2) 当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3.

6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.

【解】 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)

=

14+

14+

13?

112=

34

7.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率

是多少?

533213【解】 p=C13C13C13C13/C52

8.对一个五人学习小组考虑生日问题:

(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.

【解】(1) 设A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P(A1)=

175=(

17)

5

(亦可用独立性求解,下同)

(2) 设A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故

P(A2)=

6755=(

67)

5

(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P(A3)=1?P(A1)=1?(

17)

5

9. 从一批由45件正品,5件次品组成的产品中任取3件,求其中恰有一件次品的概率.

3

3【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有C50种取法.因只有一件次品,所以从

2145个正品中取2个,共C45种取法;从5个次品中取1个,共C5种取法,由乘法原理,恰有一件次

品的取法为C245C种,所以所求概率为P?15C45C5C50321.

10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件(n

(2) n件是无放回逐件取出的; (3) n件是有放回逐件取出的.

n?mn【解】(1) P(A)=CmCN?M/CN Mn(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有PN种,n次抽取中有m

次为正品的组合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M件正品中取m件的排列数有PM种,从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种,故

P(A)=

CnPMPN?MPnNmmn?mmn?mm

由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成

P(A)=

可以看出,用第二种方法简便得多.

(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为N种,n

次抽取中有m次为正品的组合数为Cn种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m次取得正品,都有M种取法,共有Mm种取法,n?m次取得次品,每次都有N?M种取法,共有(N?M)n?m种取法,故

P(A)?CnMmmmCMCN?MCNnmn?m

n

(N?M)n?m/N

n此题也可用贝努里概型,共做了n重贝努里试验,每次取得正品的概率为m件正品的概率为

M??M??P(A)?C?1????N??N??mnmn?mMN,则取得

4

11. 在电话号码簿中任取一电话号码,求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0,1,?,9).

【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列

44问题.用10个数去排4个位置,有P14种排法,故所求概率为P?P10/10. 0

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太

弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个

部件强度太弱的概率是多少?

【解】设A={发生一个部件强度太弱}

P(A)?C10C3/C50?13311960

13.一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,

计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}(i=2,3),显然A2与A3互斥.

P(A2)?C4C3C3721?1835,P(A3)?C4C373?435

2235?P(A)3?故 P(A2?A3)?P(A)2

14.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求: (1) 两粒都发芽的概率;

(2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率.

【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽},(i=1,2)

(1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (3) P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38

15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.

(1) 问正好在第6次停止的概率;

(2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率. 13111C4()()5212131224?2 ?【解】(1) p1?C5()() (2) p2?222325/32516.甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球

数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球},i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则

3i?0P(?AiBi3)?(0.3)(0.4)?C30.7?(0.3)C30.6?(0.4)?

22223 C3(0.7)?0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6)

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