第14讲 计数综合三 - 下载本文

第14讲 计数综合三

内容概述

建立递推的思想,将问题的复杂情形与简单情形联系起来;学会观察和发现递推关系;利用树形图、列表等方法处理某些递推关系,另外,综合运动各种方法处理与数字相关的复杂计数问题。

典型问题

兴趣篇

1. 一个楼梯共有10级台阶,规定每步可以迈一级台阶或二级台阶,走完这10级台阶,一

共可以有多少种不同的走法?

2. 小悦买了10块巧克力,她每天最少吃一块,最多吃3块,直到吃完,共有多少种吃法?

3. 用1×2的小方格覆盖2×7的长方形,共有多少种不同的覆盖方法?

4. 如果在一个平面上画出4条直线,最多可以把平面分成几个部分?如果画10条直线,

最多可以分成几个部分?

5. 甲、乙、丙三名同学练习传球,每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个。先由甲

发球,经过6次传球后仍然回到了甲的手中,请问:整个传球过程共有多少种不同的可能?

6. 一个三位数,有相邻两个数字的和为16,那么这样的三位数共有多少个?

7. 由1、3、4组成的各位数字之和为9的多位数共有多少个?

8. 一个各位数字互不相等的五位数不含数字0,且数字和为18,这样的五位数共有多少个?

9. 一个十位数只含有数字1或2,且不含两个连续的数字1,一共有多少个这样的十位数?

10. 一个六位数由1、2、3、4、5组成,而且任意相邻两个数位的数字之差都是1,这样的

六位数有多少个?

拓展篇

1. 老师给冬冬布置了12篇作文,规定他每天至少写1篇,如果冬冬每天最多能写3篇,

那么共有多少种写完作文的方法?

2. 用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表,共有多少种覆盖方法?

3. 现有14块糖,如果阿奇每天吃奇数块糖,直到吃完,那么阿奇共有多少种吃法?

4. 如果在一个平面上画出8条直线,最多可以把平面分成几个部分?如果画8个圆,最多

可以把平面分成几个部分?

5. 四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球,每人都可以把球传给另外三

个人中的任意一个,先由红衣人发球,并作为第1次传球,经过8次传球后球仍然回到红衣人手中,请问:整个传球过程共有多少种不同的可能?

6. 如图14-1所示,一个圆环被分成8部分,现将每一部分染上红、

黄、蓝三种颜色之一,要求相邻两部分颜色不同,共有多少种染色方法?

图14-1 7. 圆周上有10个点A1,A2,?,A10,以这些点为端点连接5条线段,要求任两条线段之间都

没有公共点,共有多少种连结方式?

8. 在有些多位数的各位数字中,奇数的个数比偶数的个数多,例如1370、36712等。请问:

在1至10000中有多少个这样的多位数?

9. 有些自然数存在相邻的两位数字顺次为7和5,例如1975、75675等,单432579不算在

内,请问:具有这种性质的六位数有多少个?

10. 用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数,满足以下要求:每一位上的数字

要么大于它前面的所有数字,要么小于它前面的所有数字。请问:这样的九位数共有多少个?

11. 一个七位数,每一位都有1、2或者3,而且没有连续的两个1,这样的七位数一共有多

少个?

12. 满足下面性质的四位数称为“好数”:它的个位比十位大,十位比百位大,百位比千位

大,并且任意相邻两位数字的差都不超过3,例如1346、2579是好数,但1567就不是好数,请问:一共有多少个好数?

超越篇

1. 一个九位数,它只由数字1、2和3组成,而且它的任意连续两位数都补等于12、21、

22或33,这样的自然数有多少个?如果海要求数字1、2和3每个数字都至少出现一次,则这样的九位数有多少个?

2. (1)如果在一个平面上画出8个三角形,最多可以把平面分成多少个部分?

(2)如果在一个平面上画出3个四边形、2个园、1条直线,最多可以把平面分成多少个部分?

3. 如图14-2所示,阴影部分是一个圆环,4条直线最多可以把这个阴影分成多少个部分?

图14-2 图14-3

4. 用15个1×2的纸片覆盖图14-3,共有多少种不同的覆盖方法?

5. 对一个自然数作如下操作:如果是偶数则除以2,如果是奇数则加1,如此进行下去直

到得数为1操作停止,问:经过9次操作变为1的数有多少个?

6. 用4种不同的颜色将图14-4中的圆圈分别涂色,要求有线段连结

的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色,共有多少种涂法?(不允许旋转、翻转图14-4)

图14-4 7. 圆周上有15个点A1,A2,?,A15,以这些点为顶点连出5个三角形,要求任意两个三角形

没有公共点,共有多少种连结方式?

8. 有一年级到六年级的同学各一人,排成一列领取糖果,如果一个高年级的同学站在一个

低年级的同学前面,那么这个低年级的同学就会产生一次“怨言”(一个人可以有多次“怨言”)。在一种排列顺序里,我们把所有“怨言”的总数叫“怨言数”。例如:六位同学按下面的顺序排列:一年级、四年级、三年级、二年级、六年级、五年级,那么这六位同学产生的“怨言”次数依次为0、 0、1、2、0、1,这种排列的“怨言数”就是4,请问:有多少种“怨言数”为7的排列顺序?