实变函数(复习资料,带答案) - 下载本文

《实变函数》试卷一

一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的是( )

(A)limAn???Ak; (B)limAn???Ak;

n??n?1k?n??n??n?1k?n?????二. 填空题(3分×5=15分)

1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))?_________ 2、设E是?0,1?上有理点全体,则

?(C)limAn???Ak; (D)limAn???Ak;

n??n?1k?nn??n?1k?nE=______,E=______,E=______. 3、设E是Rn中点集,如果对任一点集T都

_________________________________,则称E是L可测的 4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)

5、设f(x)为?a,b?上的有限函数,如果对于?a,b?的一切分划,使_____________________________________,则称f(x)为

'o2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( ) (A)P? c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P 3、下列说法不正确的是( )

(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测 4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A)若fn(x)?f(x), 则fn(x)?f(x) (B)

sup?fn(x)?是可测函数(C)inf?fn(x)?是可测函数;(D)若

n'??a,b?上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设E?R1,若E是稠密集,则CE是无处稠密集。

2、若mE?0,则E一定是可数集.

3、若|f(x)|是可测函数,则f(x)必是可测函数 4.设f(x)在可测集E上可积分,若?x?E,f(x)?0,则

nfn(x)?f(x),则f(x)可测

5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数

(C)f'(x)在[a,b]上L可积 (D)

ba?f'(x)dx?f(b)?f(a)

?Ef(x)?0

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四、解答题(8分×2=16分). 一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1.? 2、?0,1?; ? ; ?0,1? 3、

m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)

?x2,x为无理数1、(8分)设f(x)?? ,则f(x)在?0,1?上是否R??1,x为有理数可积,是否L?可积,若可积,求出积分值。

?ln(x?n)2、(8分)求lim?e?xcosxdx

0nn五、证明题(6分×4+10=34分).

1、(6分)证明?0,1?上的全体无理数作成的集其势为c. 2、(6分)设f(x)是???,???上的实值连续函数,则对于任意常数a,E?{x|f(x)?a}是闭集。

3、(6分)在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。

4、(6分)设mE??,f(x)在E上可积,en?E(|f|?n),则

?n?4、充要 5、??|f(xi)?f(xi?1)|?成一有界数集。

?i?1?三、1.错误2分例如:设E是?0,1?上有理点全体,则E和CE都在?0,1?中稠密5分

2.错误2分例如:设E是Cantor集,则mE?0,但E?c , 故其为不可数集 5分 3.错误例如:设E是?a,b?上的不可测集,

??x,x?E;f(x)??

???x,x??a,b??E;limn?men?0.

n则|f(x)|是?a,b?上的可测函数,但f(x)不是?a,b?上的可测函数…

4.错误mE?0时,对E上任意的实函数f(x)都有?f(x)dx?0

E5、(10分)设f(x)是E上a.e.有限的函数,若对任意??0,存在闭子集F??E,使f(x)在F?上连续,且m(E?F?)??,证明:f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理

四、1.f(x)在?0,1?上不是R?可积的,因为f(x)仅在x?1处连续,即不连续点为正测度集……..3分因为f(x)是有界可测

试卷一 (参考答案及评分标准)

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函数,f(x)在?0,1?上是L?可积的…6分 因为f(x)与x2a.e.相等,进一步,?分

2.解:设fn(x)?ln(x?n)?xecosx,则易知当n??时,n?0,1?11f(x)dx??x2dx?…8

03?EB,?B?c.…………………………6分

n??2.?x?E?,则存在E中的互异点列{xn},使limxn?x……….2分

xn?E,?f(xn)?a………………….3分

fn(x)?0 2分

f(x)在x点连续,?f(x)?limf(xn)?a

n???lnt?1?lnt又因???2?0,(t?3),所以当n?3,x?0时,

t?t?ln(x?n)n?xln(x?n)n?xln3ln3???(1?x)……4分 3. nnx?nn33ln3从而使得|fn(x)|?(1?x)e?x………………………6分

3'?x?E………………5分

?E是闭集.………………………….6分

对??1,???0,使对任意互不相交的有限个

(ai,bi)?(a,b)

但是不等式右边的函数,在?0,???上是L可积的,故有

lim?fn(x)dx??limfn(x)dx?0…………………8分

n00n??当?(bi?ai)??时,有?f(b)i?f(ai)?1………………2分

i?1i?1nn五、1.设E?[0,1],A?E?Q,B?E\\(E?Q).

B是无限集,??可数子集M?B ………………2分 A是可数集,?A?MM. ……………………………….3

将[a,b]m等分,使?xi?xi?1??,对

i?1n?T:xi?1?z0?z1??zk?xi,有?f(zi)?f(zi?1)?1,所以

i?1k分

B?M?(B\\M),E?A?B?A?M?(B\\M),且(A?M)?(B\\M)??,M?(B\\M)??,f(x)在[xi?1,xi]上是有界变差函数……………….5分

………..5分

所以V(f)?1,从而V(f)?m,因此,f(x)是[a,b]上的有界

xi?1xiba(第3页,共15页)

变差函数………..6分 4、f(x)在E上可积

可测函数……………………..10分

?limmE(|f|?n)?mE(|f|???)?0……2分

n??《实变函数》试卷二

一.单项选择题(3分×5=15分)

1.设M,N是两集合,则 M?(M?N)=( )

(A) M (B) N (C) M?N (D) ? 2. 下列说法不正确的是( )

(A) P0的任一领域内都有E中无穷多个点,则P0是E的聚点

据积分的绝对连续性,???0,???0,?e?E,me??,有

?|f(x)|dx??……….4分

e对上述??0,?k,?n?k,mE(|f|?n)??,从而

n?men??|f(x)|dx??,即limn?meennn?0…………………6分 (B) P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点,则P0是E1,f(x)在Fn连n25.?n?N,存在闭集Fn?E,m?E?Fn??续…………2分

??的聚点

(C) 存在E中点列?Pn?,使Pn?P0,则P0是E的聚点 (D) 内点必是聚点

3. 下列断言( )是正确的。

(A)任意个开集的交是开集;(B) 任意个闭集的交是

闭集;

(C) 任意个闭集的并是闭集;(D) 以上都不对;

4. 下列断言中( )是错误的。

(A)零测集是可测集; (B)可数个零测集的并是零测集;

(C)任意个零测集的并是零测集;(D)零测集的任意子集是可测集;

5. 若f(x)是可测函数,则下列断言( )是正确

令F?k?1n?kFn,则?x?F??k,x??F,n?n?,kx?Fn?()fxn?k?在F连续………4分

又对任意k,m?E?F??m[E?(?Fn)]?m[?(E?Fn)]

n?kn?k????m(E?Fn)?n?k?1………………………….6分 2k故m(E?F)?0,f(x)在F?E连续…………..8分

又m(E?F)?0,所以f(x)是E?F上的可测函数,从而是E上

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(A) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?L?可积; (B) f(x)在?a,b?R?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积 (C) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积; (D) f(x)在?a,???R?广义可积?f(x)在?a,+??L?可积 二. 填空题(3分×5=15分)

111、设An?[,2?],n?1,2,,则limAn?_________。

n??nn2、设P为Cantor集,则 P? , mP?_____,P=________。

???3、设?Si?是一列可测集,则m??Si?______?mSi

?i?1?i?1?4、连续函数一定是有界变差函数。

四.解答题(8分×2=16分)

?x,x为无理数1、设f(x)?? ,则f(x)在?0,1?上是否R?可积,

1,x为有理数?是否L?可积,若可积,求出积分值。2、求极限 1nx3lim?sinnxdx. n??01?n2x2五.证明题(6分×3+ 8?2 =34分)

1.(6分) 1、设f(x)是(??,??)上的实值连续函数,则对任意常数 c,E?{x|f(x)?c} 是一开集.

2.(6分) 设??0,?开集G?E,使m*(G?E)??,则E是可测集。

3. (6分)在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。

4.(8分)设函数列fn(x) (n?1,2,)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x),证明:fn(x)a.e.收敛于f(x)。

5.(8分)设f(x)在E??a,b?上可积,则对任何??0,必存在E上的连续函数?(x),使?|f(x)??(x)|dx??.

abo4、鲁津定理:

__________________________________________

5、设F(x)为?a,b?上的有限函数,如果_________________则称F(x)为?a,b?上的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)

1、由于?0,1???0,1???0,1?,故不存在使?0,1?和?01,?之间1?1对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。 3、a.e.收敛的函数列必依测度收敛。

(答案及评分标准)一、1,C 2, C 3, B 4, C 5,

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