离散数学集合论练习题 - 下载本文

集合论练习题

一、选择题

1.设B = { {2}, 3, 4, 2},那么下列命题中错误的是( ).

A.{2}?B B.{2, {2}, 3, 4}?B C.{2}?B D.{2, {2}}?B 2.若集合A={a,b,{ 1,2 }},B={ 1,2},则( ). A.B ? A,且B?A B.B? A,但B?A C.B ? A,但B?A D.B? A,且B?A 3.设集合A = {1, a },则P(A) = ( ).

A.{{1}, {a}} B.{?,{1}, {a}} C.{?,{1}, {a}, {1, a }} D.{{1}, {a}, {1, a }} 4.已知A?B={1,2,3}, A?C={2,3,4},若2? B,则( )

A. 1?C B.2?C C.3?C D.4?C 5. 下列选项中错误的是( )

A. ??? B. ??? C. ??{?} D.??{?} 6. 下列命题中不正确的是( )

A. x?{x}-{{x}} B.{x}?{x}?{{x}} C.A?{x}?x,则x?A且x?A D. A?B???A?B 7. A, B是集合,P(A),P(B)为其幂集,且A?B??,则P(A)?P(B)?( ) A. ? B. {?} C. {{?}} D.{?,{?}} 8. 空集?的幂集P(?)的基数是( )

A. 0 B.1 C.3 D.4

9.设集合A = {1,2,3,4,5,6 }上的二元关系R ={?a , b??a , b?A , 且a +b = 8},则R具有的性质为( ).

A.自反的 B.对称的

C.对称和传递的 D.反自反和传递的

10. 设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系

R = {?1 , 1?,?2 , 2?,?2 , 3?,?4 , 4?}, S = {?1 , 1?,?2 , 2?,?2 , 3?,?3 , 2?,?4 , 4?},

则S是R的( )闭包.

A.自反 B.传递 C.对称 D.以上都不对 11. 设A={1,2,3,4},下列关系中 为等价关系。

A.R1={<1,1>,<1,2>,<2,1>, <2,2>,<3,3>} B.R2={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<3,3>,<4,4>} C.R3={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,4>} D.R4={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<3,2>,<4,4>} 12.非空集合A上的二元关系R,满足( ),则称R是等价关系.

A.自反性,对称性和传递性 B.反自反性,对称性和传递性

C.反自反性,反对称性和传递性 D.自反性,反对称性和传递性 13.设集合A={a, b},则A上的二元关系R={}是A上的( )关系.

A.是等价关系但不是偏序关系 B.是偏序关系但不是等价关系 C.既是等价关系又是偏序关系 D.不是等价关系也不是偏序关系 14. 设R和S是集合A上的等价关系,则R∪S的对称性( )

A.一定成立 B.不一定成立 C.一定不成立 D.不可能成立 15. 整数集合Z上“<”关系的自反闭包是( ) 关系 A.= B.≠ C.> D.≤ 16. 关系R的传递闭包t(R)可由( )来定义

A.t(R)是包含R的二元关系 B.t(R)是包含R的最小的传递关系 C.t(R)是包含R的一个传递关系 D.t(R)是任何包含R的传递关系 17. 设R是集合A上的偏序关系,Rc是R的逆关系,则R∪Rc是( )

A.偏序关系 B.等价关系 C.相容关系 D.都不是

18.设偏序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示,若A的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B的( )。 (A)下界

(B)上界

6 5 3 2 1 4 (C)最小上界 (D)以上答案都不对

二、填空题

1.设集合A有n个元素,那么A的幂集合P(A)的元素个数为 . 2. 集合{??{?}}的幂集为 3.设集合A = {1,2,3,4,5 },B = {1,2,3},R从A到B的二元关系,

R ={?a , b??a?A,b?B且2?a + b?4}

则R的集合表示式为 . 4.设集合A={0, 1, 2},B={0, 2, 4},R是A到B的二元关系,

R?{?x,y?x?A且y?B且x,y?A?B}

则R的关系矩阵MR= 5. 设集合A={a,b,c},A上的二元关系

R={,},S={,,}

则(R?S)1= ; domR= ;ran(R?S)=

6. 设集合A={a,b,c,d},A上的二元关系R={, , , },则二元关系R具有的性质是 .

7. 设R是集合A = {1 , 2 ,? , 10}上的模7同余关系则[2]R = . 8. A={ 1, 2,3,4,5,6,8,10,24,36},RA是上的整除关系,子集B={1,2,3,4},则

的最大元 ,最小元 ,极大元 ,极小元 , 上界 ,下界 ,上确界 ,下确界 。 三、计算题

1.设集合A?{{?},{?,1},{1,1,?}},B?{{?,1},{1}},求

(1)B?A; (2)A?B; (3)A-B; (4)A?B;(5)P(A)

2. 设A?{{0},0},计算P(A)?{0},P(A)?A.

3. 设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵,并讨论它们的性质:

1 1 1

2 3 2 3 2 3 4、设A={1,2,…,10}。下列哪个是A的划分?若是划分,则它们诱导的等价关系是什么? (1)B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}}; (2)C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}}; (3)D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}} 5. R是A={1,2,3,4,5,6}上的等价关系,

R=IA?{<1,5>,<5,1>,<2,4>,<4,2>,<3,6>,<6,3>} 求R诱导的划分。

6. A上的偏序关系?的Hasse图如下。

(1) 下列哪些关系式成立:a?b, b?a ,c?e, e?f , d?f, c?f;

(2) 分别求出下列集合关于?的极大(小)元、最大(小)元、上(下)界及上(下)确界

(a) A ; (b) {b,d}; (c) {b,e}; (d) {b,d,e}

a e f

b d

c 7. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},R是A上的整除关系,B={2, 4, 6}.

(1)写出关系R的表示式;

(2)画出关系R的哈斯图; (3)求出集合B的最大元、最小元. 8. 设集合A={a, b, c, d}上的二元关系R的 关系图如右图所示.

(1)写出R的表达式; (2)写出R的关系矩阵; (3)求出R2.

9.设A={0,1,2,3,4},R={|x?A,y?A且x+y<0},S={|x?A,y?A且x+y<=3},试求R,S,R?S,R-1,S-1,r(R),s(R),t(R),r(S),s(S),t(S). 四、证明题

1. 设R是集合A上的对称关系和传递关系,试证明:若对任意a?A,存在b?A,使得?R,则R是等价关系.

2.若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系,试证明:R?S也是A上的偏序关系.

b a d c