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一、单项选择题(每题2分,共20分) P61关于严平稳与(宽)平稳的关系;

弱平稳的定义:对于随机时间序列yt,如果其期望值、方差以及自协方差均不随时间t的变化而变化,则称yt为弱平稳随机变量,即yt必须满足以下条件: 对于所有时间t,有 (i)

E(yt)=μ为不变的常数;

(ii) Var(yt)=σ2为不变的常数;

(iii) γj=E[yt-μ][yt-j-μ],j=0,±1,,2,… (j为相隔的阶数)

(μ=0,cov(yt,yt-j)=0,Var(yt)=σ2时为白噪音过程,常用的平稳过程。) 从以上定义可以看到,凡是弱平稳变量,都会有一个恒定不变的均值和方差,并且自协方差只与yt和yt-j之间的之后期数j有关,而与时间t没有任何关系。 严平稳过程的定义:如果对于任何j1,,j2,...,jk,随机变量的集合(yt,

yt+j1,,yt+j2,…,yt+jk)只依赖于不同期之间的间隔距离(j1,j2,…,

jk),而不依赖于时间t,那么这样的集合称为严格平稳过程或简称为严平稳

过程,对应的随机变量称为严平稳随机变量。 P46 Xt 的k阶差分是;△

Xt=△

k-1

Xt-△ Xt-1,△ 表示差分符号。

k-1

滞后算子;P54对于AR: Lpyt=yt-p,对于MA:L特征方程为:λ

p

εt=εt-p

AR(p)模型即自回归部分的特征根—平稳性;确定好差分方程的阶数,则其

-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0,若所有的特征根的│λ│<1则平稳

1p

补充:逆特征方程为:1-α1z-α2z2-…-αpz=0,若所有的逆特征

根│z│>1,则平稳。注意:特征根和逆特征方程的根互为倒数。 如:p57作业3: yt=1.2yt-1-0.2yt-2+εt,为二阶差分,其特征方程为:λ2-1.2λ+0.2=0,解得λ1=1,λ2=0.2,由于λ1=1,所以不平稳。

MA(q)模型Xt??t?1.1?t?1?0.24?t?2,则移动平均部分的特征根----可逆性;p88 所谓可逆性,就是指将MA过程转化成对应的AR过程 MA可逆的条件是其逆特征方程的根全部落在单位圆外,

1pz+θz2+…+θz=0,│z│>1, 12p

此题q为2,逆特征方程为:1-1.1z+0.24z2=0, 解得:Z=

即1+θ

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关于AR(p)模型与MA(q)的拖尾与截尾---建模观察相关图定阶;如表所示: AR(p) MA(q) ARMA(p,q) ACF 拖尾 q期后截尾 拖尾 PACF P期后截尾 拖尾 拖尾 若一序列满足ARIMA( p, d, q)模型(d > 0) , 则此序列平稳吗?

答:平稳,因为ARIMA( p, d, q)模型表表示经过d次差分后的序列,其必定是平稳时间序列。

二、填空题(每题2分,共20分)。 平稳时间序列的特点:平稳时间序列的特征方程的单位根的绝对值都小于1,逆特征方程的根的绝对值都大于1。 (i)

E(yt)=μ为不变的常数;

(ii) Var(yt)=σ2为不变的常数;

(iii) γj=E[yt-μ][yt-j-μ],j=0,±1,,2,… (j为相隔的阶数)

ARMA 所对应的AR特征方程为?其MA逆特征方程为? 对于自回归移动平均过程ARMA(p,q):yt=c+α1

yt-1 +α2 yt-2+…+αp

yt-p+εt+θ1εt+θ2εt-2+…+θqεt-q,其对应的AR的特征方程为:

λ-α1λ-α2λ-…-αp=0,MA的逆特征方程为:1+θ

p

p-1

p-2

1

z+θ2z

1

2+…+θpzp=0

已知AR(1)模型为:xt?2?0.7xt-1??t,20/3 ,偏自相关系数?11= 0.7 。

设{xt}为一时间序列,B为延迟算子,则B2yt?yt-2 。

如果观察序列的时序图平稳,并且该序列的自相关图拖尾,偏相关图1阶截尾,则选用什么ARMA模型来拟合该序列?

ARMA模型包括:AR(),MA().ARMA()。

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?t~WN(0,??2),则E(xt)=

由此表可知 AR(p) MA(q) ARMA(p,q) ACF 拖尾 q期后截尾 拖尾 PACF P期后截尾 拖尾 拖尾 应选用AR(1)模型来拟合该序列,

条件异方差模型记号: ARCH(p),

GARCH(p,q),GARCH-in-Mean,TGARCH,EGARCH,PGARCH,CGARCH,

三、计算题( 共4小题,每小题5分,共20分) P57 运用滞后算子得出其逆特征方程

1-α1z-α2z2-…-αpz=0。或用特征方程::λp-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0

例p57(1).yt=1.2yt-1-0.2yt-2+εt,

为二阶差分,其特征方程为:λ2-1.2λ+0.2=0,解得λ1=1,λ2=0.2,由于λ1=1,所以不平稳。为一阶单整。

对下列ARIMA模型,求E(?Yt)和Var(?Yt)。

1p

Yt?3?Yt?1?et?0.75et?1 (et为零均值、方差为?e2的白噪声序列)

?E(?Yt)?E(3?et?0.75et?1)?3?252 ?22Var(?Y)?Var(3?e?0.75e)?(1?0.75)???ettt?1e?16?

关于上面答案的分析:var表示方差,因为白噪音为均值为零、相关系数 cov(yt,yt-j)=0也为零,又方差为?e2,所以得到以上运算结果; 注意方差的运算及性质:

1.设C为常数,则D(C) = 0(常数无波动); 2.D(CX)=C2 D(X) (常数平方提取); 3.当X与Y相互独立时,D(X±Y)=D(X)+D(Y)

4.当X与Y不独立时,D(X±Y)=D(X)+D(Y)+cov(X,Y)

对于ARMA过程 写出其自回归部分ar()及移动平均部分 ma()的特征方程,并求出其各自的特征根,进而判断所给定的过程是否稳定?是否可逆? 对于自回归移动平均过程ARMA(p,q):

yt=c+α1 yt-1 +α2 yt-2+…+αp yt-p+εt+θ1εt+θ2εt-2+…+θqεt-q,其

对应的AR的特征方程为:λp-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0,MA的逆

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特征方程为:1+θ

1

z+θ2z2+…+θpz=0。 因为ARMA

1p

模型中MA一定平稳,所以若AR平稳则ARMA平稳,即AR的特征方程的根全都小于零。

假定某公司的年销售额(单位:百万美元)符合AR(2)模型:Yt?6?Yt?1?0.4Yt?2?et, 其中?e2?1。

2005年、2006年和2007年的销售额分别是800万美元,1000万美元和1200万美元,预测2008年和2009年的销售额。

Y2008=6+Y2007-0.4Y2006=806(万美元);Y2009=6+Y2008-0.4Y2007=332(万美元)

四、证明题(16分) P111

考虑MA(2)模型 t

y=εt-θ1ε

t-1

-θ2ε

t-2

(a) 求出yt的均值与方差。 答:E(yt)=E(

εt-θ1ε

t-1

-θ2ε

t-2

)=0,

2

2

2

var(yt)=γ0=E(yt-μ)2=(1+θ1+θ2)σ

五、 实验题(共8小题,每小题3分,共24分)

1、序列 Yt?3?Yt?1?0.6Yt?2?et,(et为零均值、方差为?e2=2的白噪声序列)是平稳的,在Eviews中可以生成此过程的数据来从图像上直观观察其平稳性,请写出该数据生成过程的Eviews代码:

smpl @first @first+1 series y=0

smpl @first+2 @last

series y=3+y(-1) -0.6*y(-2)+@sqrt(2)*nrnd smpl @first @last

2、给出ARMA模型的建模流程。 (a)识别 (b)估计 (c)诊断 (d)预测

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3、已知某序列的时序图如下:试问此序列平稳吗?

4.单位根检验可用来判断序列是否是平稳的,下面是某序列的单位根检验结果, 试问此序列平稳吗?

5. 已知某平稳序列的样本自相关和样本偏相关函数的图像如下:

试问应判定此序列是何种序列? 即对ARMA(p, q) 模型进行定阶,确定具体是何种模型?

6. 已判定某序列 y 满足下列 模型:

试问对模型中参数作估计时, 在执行操作 Quick\\Estimate Equation 后出现的 Equation Estimation 窗口中应输入什么命令? 应输入:c ar() ar()

如果是在Commmand命令窗口直接操作,又应输入什么命令? 应输入 LS c ar() ar()

7、某时间系列进行ARMA(p, q) 模型建模后,检验其残差结果如下: 请根据此检验结果回答该模型残差检验是否通过?模型是否是合适的? 8、三个拟合模型的比较数据如下: 模型 AIC A B C ARIMA(0,1,1)模型: 24.3 Auto- B)?26.8 (1?B)xtRegressive?4.99661?(模型一:1?0.70766-.Regressive模型二: xt?691491?4.5158t??t?Auto25.6 ??txt??11.4859???0.5848?t?2?at试比较上述3个模型的优劣并排序。 .033xtt???11?t?AIC越小越好,所以 A??0.4615??a优于C优于B

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