第四章 刚体转动 - 下载本文

第四章 刚体的转动 问题

4-1 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点,一个点在飞轮的边缘,另一个点在转轴与边缘之间的一半处。试问:在?t时间内,哪一个点运动的路程较长?哪一个点转过的角度较大?哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度? ? 解 在一定时间内,处于边缘的点,运动的路程较长,

P 线速度较大;它们转动的角度、角速度都相等;线加速度、角加速度都为零。

考虑飞轮上任一点P,它随飞轮绕转轴转动,设角速度为?,飞轮半径为r。

在?t内,点P运动的路程为lP?rP??t,对于任意点的角速度?恒定,所以离轴越远的点(rP越大)运动的路程越长。又因为点P的线速度vP?rP?,即离轴越远,线速度也越大。

同理,点P转动的角度?P???t,对于飞轮上任一个点绕轴转动的角速度?都相等,即在相等的时间内,飞轮上的点转动的角度都相等。

d?d??0,角加速度?P??0. 又角速度?恒定,即线加速度aP?rPdtdt

4-2 如果一个刚体所受合外力为零,其合力矩是否也一定为零?如果刚体所受合外力矩为零,其合外力是否也一定为零?

解 不一定。

如图(a)轻杆(杆长为l)在水平面内受力F1与F2大小相等方向相反,合力为零,但它们相对垂直平面内通过O点的固定轴的力矩M?F1l不为零。

如图(b),一小球在绳拉力作用下在水平面内绕固定轴作圆周运动,小球所受的合外力通过O点,它所受的力矩为零。

4-3 有两个飞轮,一个是木制的,周围镶上铁制的轮缘,另一个是铁制的,周围镶上木制的轮缘,若这两个飞轮的半径相同,总质量相等,以相同的角速度绕通过飞轮中心的轴转动,哪一个飞轮的动能较大。

O F1O F F2 (a) (b)

解 两飞轮的半径、质量都相同,但木制飞轮的质量重心靠近轮缘,其转动惯量要大于铁制轮缘。飞轮的动能Ek?大。即木制飞轮动能较大。

4-4 如本题图所示,有5个质点,它们具有相同的质量m和速度v,对参考点

O,它们的角动量的大小和方向是否相同?

① ② L?mr?v ③ 其方向垂直于r与v的平面,且遵守右手法则,④ 应用于本题中的5个质点可知,质点①与⑤、质⑤ 12J?,?相同,转动惯量J越大,动能越

2解 由角动量定义得

v

r O 点②与④的角动量大小相等方向相反,质点③的

速度方向通过参考点,角动量为零。

4-5 如果一个质点系的总角动量等于零,能否说此质点系中每一个质点都是静止的?如果一质点系的总角动量为一常量,能否说作用在质点系上的合外力为零?

解 不能。由L?mr?v知,若质点的速度方向所在的直线通过参考点,即

r?v=0,此时角动量为零,但质点速度可以不为零;由角动量守恒定理可知质点

系所受的力矩M为零时,L?mr?v=常量, 但此时合外力并不一定为零,例如,当质点系所受的合外力为有心力时,仍能满足总角动量为常量。

4-6 一人坐在角速度为?0的转台上,手持一个旋转着的飞轮,其转轴垂直地面,角速度为??,如果突然使飞轮的转轴倒转,将会发生什么情况?设转台和人的转动惯量为J,飞轮的转动惯量为J?.

解 考虑人、转台与飞轮组成的系统,飞轮轮轴倒转的过程满足角动量守恒, J?0?J????J??J??? 则人与转台的角速度增大为???0?

4-7 下面几个物理量中,哪些与原点的选择有关,哪些与原点的选择无关:(1)位矢,(2)位移,(3)速度,(4)角动量。

解 位矢、角动量与原点的选择有关,位移与速度与原点的选择无关。

4-8 卫星绕地球运动。设想卫星上有一个窗口,此窗口远离地球。若欲使卫星中的宇航员依靠自己的能力,从窗口看到地球。这位宇航员怎样做才能使窗口朝向地球呢?

2J???J

习题

4-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s内由1.2?103r?min?1均匀的增加到

3?1求曲轴转动的角加速度;(2)在此时间内,曲轴转了多少转? 2.7?10r?min(1)

解 (1)由角速度??2?n,其中n为转速, d?又转动角加速度??,所以曲轴转动的角加速度为

dt?????0t?2?n?n0t?13.1s?2

(2)曲轴做匀变速转动,曲轴转过的角度

???0??t???n?n0?t

2当t?12s,曲轴转过的圈数为

?N?2??390

4-2 一燃气轮机在试车时,燃气作用在涡轮上的力矩为2.03?103N?m,涡轮的转动惯量为25.0?k2当轮的转速由2.80?103r?min?1增大到g.m1.12?10r?min,所经历的时间t为多少?

4?1解 由题意可知,作用在涡轮上的力矩M恒定,由角动量定理可知

???J0 Mt?JJ????0?Mt??2?J?n?n0?M

代入数据得 t?10.8 s

4-3 用落体观察法测定飞轮的转动惯量,是将半径为R的飞轮支承在O点上,然后在绕过飞轮的绳子的一端挂在一质量为m的重物,令重物以初速度为零下落,带动飞轮转动(如图)。记下重物下落的距离和时间,就可算出飞轮的转动惯量。试写出它的计算式。(假设轴承间无摩擦)

解 由题意分析可知,飞轮受重力和绳中张力力作用向下匀加速运动,同时带动飞轮加速转动。 如图,对重物由牛顿定律有

R ? FT? FT a

mg mg?FT?ma

对于飞轮,由转动定律有

FT?R?J?

其中FT?FT? ,a?R?(绳子不可拉长), 又重物以初速度为零下落,其下落高度为

h?12at

2综合以上几式可得飞轮的转动惯量为

?gt2?J?mR??1?

?2h?2

4-4 一飞轮由一直径为30cm,厚度为2.0cm的圆盘和两个直径都为10cm,长为8.0cm的共轴圆柱体组成,设飞轮的密度为7.8?103kg?m?3,求飞轮对轴的转动惯量。

解 圆柱体对中心轴的转动惯量为

?d?J1?m1?1?

2?2?12d1 d2圆盘对中心轴的转动惯量为

?d? J2?m2?2?

2?2?1?d??d?其中m1???1?l1?? m2???2?l2??

?2??2?222l2 l1 由转动惯量的叠加性可得飞轮对轴的转动惯量为 J?2J1?J2

?g m由以上几式可得 J?0.136k2

4-5 质量面密度为?的均匀矩形板,试证通过与板面垂直的几何中心轴线的转动惯量为

?22lb?l?b?,其中l为矩形板的长,b为它的宽。

12y b2 l2O x

解 如图,取矩形板所在平面为坐标面Oxy,原点为轴线与平面的垂足点。在板上取一质元dm??dxdy,由转动惯量的定义知这一质元对轴线的转动惯量为

dJ?rdm??x?y222??dxdy

2将上式对x、y积分得整个板对轴线的转动惯量为

J?????l2l2b2?b2?x22?y?dxdy

?

?lb12?l2?b?

4-6 如图所示,质量m1?16kg的实心圆柱体A,其半径为r?15cm,可以绕其固定水平轴转动,阻力忽略不计。一条轻的柔绳绕在圆柱体上,其另一端系一个质量m2?8.0kg的物体B,求:(1)物体B由静止开始下降1.0s后的距离;(2)绳的张力。

解 (1) A、B受力分析如图所示。设物体B向下运动的加速度为a,由牛顿定律得

m2g?FT?m2a

A FN ? FT? FT

r 对于圆柱体A,重力和轴对它的支持力平衡,它在绳子张力作用下加速转动,由转动定律

FT?r?J??12m1r?

2m1g B a

m2g

又FT?FT?,且a?r?

综合上几式可得物体B下落的加速度大小为

a?2m2gm1?2m2

1当t?1.0s时物体下落的距离为 h?2将加速度表达式及相关数据代入得 h?2.45m

at

2(2)由上问可知,绳中张力为

FT?m2g?m2a?m1m2m1?2m2g?39.2N