实变函数试题库参考答案 - 下载本文

A、1、 B、2 C、3 D、4 74、A可测,B是A的真子集,则( )

A、mA?mB B、mA?m*B C、mA?m*B D、以上都不对 75、下列说法正确的是( ) A、f(x)?111[,1]无界 f(x)?在(0, 1)有限、 B、在222xx11???2,x?(0,1]?2,x?(0,1] C、f(x)??x在[0, 1]有限 D、f(x)??x在

??x?0x?1???,?1,[0, 1]有界

76、函数列fn(x)?sinnx在[0,?]上( )于0. 2 A、收敛 B、基本上一致收敛 C、一致收敛 D、a. e.一致收敛

??x2,x?E 77、设f(x)??2其中E是[0, 1]上的不可测集,则( )

?x,x?[0,1]?E在[0, 1]上是可测的.

A、|f(x)| B、f(x) C、f?(x) D、f?(x) 78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是( )

A、简单函数一定是可测函数 B、简单函数列的极限是可测

函数

C、简单函数与可测函数是同一概念 D、简单函数列的极限与可测

函数是同一概念

79、m?[?1,1)?(2,3]??( ) A、1 B、2 C、3 D、4 80、L可测集类,对运算( )不封闭.

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A、可数和 B、有限交 C、单调集列的极限 D、任意和. 81、下列说法正确的是( ) A、f(x)?限

111(,1)f(x)?在无界 B、在(0,1)有2x3x311???3x?(0,1]?3 C、f(x)??x在[0, 1]有限 D、f(x)??x??x?0????1在[0, 1]有界

82、函数列fn(x)?cosnx在[0,x?(0,1]x?0?]上( )于0. 2 A、基本一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、a. e.一致收敛

x?E???sinx, 83、设E是[0,]中的不可测集,f(x)?? 则下列函??sinx,x?[0,]?E2?2?数在[0,?]上可测的是( ). 2 A、f(x) B、|f(x)| C、f?(x) D、f?(x) 84、关于依测度收敛,下列说法中不正确的是( ) A、依测度收敛不一定一致收敛

B、依测度收敛不一定收敛

C、若{fn(x)}在E上a.e.收敛于a.e.有限的可测函数f(x),则

fn(x)?f(x)

D、若fn(x)?f(x),则存在子列{fni(x)}a. e.收敛于f(x)

85、设f(x)是可测集E上的非负可测函数,则f(x)( )

A、必可积 B、必几乎处处有限 C、必积分确定 D、不一定积分确定

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86、设f(x)在可测集E上可积,则在E上( )

A、f?(x)与f?(x)只有一个可积 B、f?(x)与f?(x)皆可积 C、f?(x)与f?(x)不一定可积 D、f?(x)与f?(x)至少有一个不可积 87、设mE?0(E??),f(x)是E上的实函数,则下面叙述正确的是( ) A、f(x)在E上不一定可测 B、f(x)在E上可测但不一定可积 C、f(x)在E上可积且积分值为0 D、f(x)在E上不可积 88、f(x)在可测集E上(L)可积的必要条件是,f(x)为( )

A、连续函数 B、几乎处处连续函数 C、单调函数 D、几乎处处有限的可测函数

89、设D(x)为狄立克雷函数,则(L)?D(x)dx?( )

01A、 0 B、 1 C、1/2 D、不存在 90、设f(x)为Cantor集的特征函数,则(L)?f(x)dx?( )

01A、 0 B、 1/3 C 、2/3 D、 1 填空题

1、设A为一集合,B是A的所有子集构成的集合;若A=n, 则B=

2、设A为一集合,B是A的所有子集构成的集合;若A是一可数集, 则B= 3、若A?c, B?c, 则A?B? 4、若A?c, B是一可数集, 则A?B? 5、若A?c, B?n, 则A?B?

6、若{An}是一集合列, 且An?c, ?An?

n?1? 7、若{A?}??I是任意集族, 其中I是指标集, 则?A?= ??I 13

8、若{A?}??I是任意集族, 其中I是指标集, 则?A?=

??I 9、若{A?}??I是任意集族, 其中I是指标集, S是一集合, 则CS(?A?)= ??I 10、若{A?}??I是任意集族, 其中I是指标集, S是一集合, 则CS(?A?)= ??I 11、若{An}是任意一个集合列, 则limAn? n?? 12、若{An}是任意一个集合列, 则limAn? n?? 13、欧氏空间Rn中, 任意两点x?(x1,x2,?xn), y?(y1,y2,?yn)的距离d(x, y)=

14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、l2空间中, 任意两元素 x?(x1,x2,?xn,?), y?(y1,y2,?yn?)的距离 d(x, y)=

16、欧氏空间R2中, 任意两点x?(x1,x2), y?(y1,y2)的距离 d(x, y)= 17、欧氏空间R3中, 任意两点x?(x1,x2,x3), y?(y1,y2,y3)的距离d(x, y)= 18、欧氏空间R4中, 任意两点x?(x1,x2,x3,x4), y?(y1,y2,y3,y4)的距离d(x,y)=

19、设X?R2,E?{(x,y):x2?y2?1},则E= 20、设X?R3, E?{(x,y,z):x2?y2?z2?1}, 则E= 21、设X?R2,E?{(x,y):x2?y2?1},则?E= 22、设X?R2,E?{(x,y):x2?y2?1},则E'= 23、设X?R3, E?{(x,y,z):x2?y2?z2?1}, 则 ?E= 24、设X?R3, E?{(x,y,z):x2?y2?z2?1}, 则E'= 25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) =

26、设C是康托完备集, G= [0, 1]-C , 则d (C, G) = 27、设C是康托完备集, 则C的半径?(C)=

28、两个非空集合A, B距离的定义为 d (A, B ) = 29、一个非空集合A的直径的定义为?(A)= 30、设A = [0, 1] ?Q, 则?(A)=

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31、E?R,对每一列覆盖E的开区间?Ii?E,定义m*E?________。

i?1n? 32、设{Si}是一列递增的可测集合,则m(limSn)?________。

n?? 33、设f(x)是定义在可测集E?Rn上的实函数,若?a?R,有_______,则称f(x)在E上可测。

34、fn(x)?f(x)的定义为_________________________。

35、设A=“开集类”,B=“波雷尔集类”,C=“可测集类”,D=“G?型集类”。那么A,B,C,D的关系是__________。 36、I是区间,则mI=________

37、[a, b]上的连续函数及单调函数都是________。 38、叶果洛夫定理反映了_______与________的关系。

39、设E?Rn,E有界,I为任一包含E的开区间,则m*E?____ 40、m*(?Ai)??m*Ai称为测度的________

i?1i?1?? 41、可测集E?Rn上的连续函数都是________。

42、可测函数列的极限是_________。

43、若A?B,则m*A?m*B,这称为外测度的________。 44、若集合G能表示成________则称G为G?集。

45、实变函数中的函数连续性是数学分析中函数连续性的______。 46、几乎处处是与_______有关的概念。

47、设E?Rn,若对?T?Rn都有________则称E是L可测的。 48、若集合F能表示成_______则称F为F?集。

49、E上的简单函数,指的是对E进行有限不变可测分解后,每一个可测子集上都取_______的函数。

50、鲁金定理反映了______与______的关系。

51、设{Si}是一列递减可测集合,且?k, mEk??,则m(limSn)?_________。

n?? 52、L可测集和波雷尔集相差一个________。

53、两个可测函数的四则运算(假定它们都有意义)结果______。

?1,x?(0,n] 54、函数列fn(x)??在(0,??)不一致收敛于1,且不______收敛

?0,x?(n,??)

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