高等数学教案2 - 下载本文

f(a?2t)?f(a) ②limt?0t.

解: ①原式

f(a??x)?f(a)?lim ?x?0?xf[a?(??x)]?f(a)?lim ?x?0??x?2f?(a)

f(a??x)?f(a)?[f(a??x)?f(a?lim?x?0?x?2A.

f(a?2t)?f(a)②原式?2limt?02t?2f?(a)

-----高等数学教案 第二章 导数与微分 第6页 共48页-----

?2A.

例3.设f(x)?(x?c)?g(x),g(x)在x?c处连续,求f?(c). 解: 由于g(x)在x?c处连续,

22所以lim

x?cg(x)?g(c).

f(x)?f(c)f?(c)?limx?cx?c22

(x?c)?g(x)?0?lim x?cx?c ?lim(x?c)?g(x)

x?c ?2c?g(c).

-----高等数学教案 第二章 导数与微分 第7页 共48页-----

4.如果函数y?f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数y?f(x)在开区间I内可导,这样就构成一个新函数,这个函数叫做原来函数y?f(x)的

dy导函数,记作y?或f?(x)或

dxdf(x). 导函数的定义式 dxf(x??x)?f(x)y??lim ?x?0?xf(x?h)?f(x)或 y??lim. h?0h -----高等数学教案 第二章 导数与微分 第8页 共48页-----

5.y?f(x)在x0处的左导数:

6.y

?yf??(x0)?lim??x?x?0.

?f(x)在x0处的右导数:

?yf??(x0)?lim??x?x?00.

7.f(x)在x处可导?f(x)在

x处既有左导数又有右导数,且f?(x)?f?(x) ,此时

f?(x)?f?(x)?f?(x).

0?0?00?0?0例4.求函数f(x)?x在x?0处的导数?

-----高等数学教案 第二章 导数与微分 第9页 共48页-----

解:

f(0?h)?f(0) f??(0)?lim?hh?0?h?0 ?lim? hh?0 ??1,

f(0?h)?f(0) f??(0)?lim?

hh?0h?0 ?lim? hh?0 ?1.

由于f?(0)?f?(0),所以f(x)在x?0处不可导.

?? -----高等数学教案 第二章 导数与微分 第10页 共48页-----